伍鸿熙《黎曼几何初步》致读者的話

很好的序言《Introduction to Riemann Geometry, 黎曼几何初步》, 从如何读数学书的技巧,作者教你不要忘记”直观”(Intuition)才是躲在所有高深玄奥理论背后的”真理”。
他用André Weil 的名言 (其实是 Abel, Galois等天才数学家的经验): “Learn directly from the Masters” — 直接读大师的著作, 而不是他人的再述的文章。这好比全武林追寻 《九阳真经》,或 《葵花宝典》…因为是大师的亲身体验, 切肉自痛的第一手经验, 过程才是富有教育性… “It is the means, not the ends, which counts the most!”
最后引申到得国际数学/科学奖 (Fields Medal, Nobel Prize), 为何13亿中国人(不包括海外华人)出不了一个 (终于2015年出了个屠呦呦, 是个中国自己不让当院士的’不入流’医学家)? 不要和欧美国家比, 要和小日本(出十几个)比… 研究环境, 国家社会的鼓励, 才是要素。不须阿Q, 说”志不在得奖”!

尼斯的靈魂

致讀者的話

“你們的事業的成長,應該像一棵樹的成長一樣。應該是順其自然、無間斷、和全面的。我希望你們的根能夠在這個學院的肥沃土地下面盡量深入,以使你們的樹幹長得既粗且壯。這樣,將來無論樹葉多麼茂盛豐滿,也永不會有水分供應不暇的毛病。在上空將不時有狂風大雨,也會有行雷閃電。所以切勿長得太快太高。”

以上的一段話,是當代英國演員羅倫士奧利維亞在1947年Old Vic戲劇學院開幕典禮中,向學生致詞的一部分。這幾句話對你們是有特殊意義的。因為這本書是一本很初步的書。如果你們有意細讀這本書的話,則最少要弄清楚從這本書中你們能夠得到些什麼。目前一般研究生心目中,最迫切的問題似乎是:有沒有一個可以寫一篇文章的小題目?因此我要先此聲明:這本書不討論這一類的小題目。我寫這本書的原意,只是希望能使“你們的根盡量向下面深入”。以後是否開枝發芽,就只能看你們自己的努力和天賦。書內所討論的題目,都是一般的和基礎性的,而且也是任何一個幾何學家所熟悉的。要是你們能夠好好掌握這幾個基本性的概念,並且在將來能對幾何學有一個比較全面的理解,則日後自然能夠挑一些有意義的大題目來做。急功好利、只顧眼前的收穫、和只找易做的小題目來寫文章,這都不是一個數學工作者所應有的態度。這本書應該是你們向前邁進的踏腳石之一。我希望你們很快就會超過這本書的範圍。

每一本書的作者都有一點和一個魔術師相同的地方,就是希望觀眾或讀者所看見的一切,剛好是他希望他的讀者或觀眾所看到一切。那麼在我心中,幻想你們能夠從這本書中看到的是什麼呢?

第一,你們會了解書內的定義和定理既都是人為的,又同時是合理的。也許你們認為一本書要寫得高深莫測,才能顯出作者的學問淵博。但是我卻希望你們會覺得書中的一切,不但是理所當然,而且是容易得只要肯化一點功夫就可以自己做出來的。要做到這一點,除了一般的“定義→定理→證明”基本形式以外,我設法多加一些按語來說清楚每個主要定義和主要定理的來龍去脈和直觀意義。另一方面我也要指出,書內的概念和結果所以被認為是基本性的,並不是因為某某權威說過是如此如此,而是因為經過時間的考驗後,發現確切是如此的。就是說,從經驗的總結,我們現在知道這些概念和定理是有用的和必需的。所以一個初學者應該致力於探求為什麼所學的是有用的和必需的,否則不能對所學有一個全面的了解。這種治學態度,其實不單是適用於數學上,而是適用於一切學問的領域上的,包括社會科學在內。
其次,我希望你們能夠把握全書的要點,同時也能夠把握每個定理、每個證明和每個概念的要點。一本好的數學書應該不同於一本字典。在後者當中每一個字都佔有同等的地位。但是如果說這本書內無數的定義、定理和證明都是同樣重要的,就未免荒謬無稽了。比方說,弧長的二次變分公式只是一個一般性的技巧性結果,要點在於弄清楚如何將它應用於具體的情況,而不在於探討這個公式本身的深度或研究這個公式的推導。所以不應該只算出這個公式而不給應用,更不應該把這個公式當作主要定理之一。又比如,Synge定理的證明看來是相當累贅的。但是如果從一個很直觀的事實做出發點,就是“任何一個非單連通的緊緻黎曼流形上必存在一個非同倫於零的最短閉曲線”,則其它一切都是順理成章的了。所以我希望你們能夠培養一個習慣,總要問:這本書的要點何在?這一章的要點何在?這個證明的要點何在?能找到所有這些問題的答案,才能說有真正的了解。

最後,我希望你們能夠完全以直觀的眼光去了解這本書的內容。所有數學書都是充滿了技術性的術語的,因為為了要表達清楚,作者毫無選擇的餘地。但是一個數學工作者的思考,大部分時候是靠直觀(甚至是過分簡化的直觀)的想法來向前推進的。在幾何學上這一點尤其是重要。所以書內這一類直觀的討論,比其它的數學課本會多一點。也許你們還迷信所謂“數學嚴格性”,以為數學上最重要的是每一步推論的正確性。這個論點,相當於說魯迅文章的好處,主要是在於每句話都寫得很通順。我希望你們不會犯這個“見小不見大”的毛病。

當然以上三點只是我個人的幻想。現實和幻想的距離可能很大,但是當知道我的意圖之後,希望你們能夠用自己的想像力來填補這本書的不足之處。我講這個課的時候,剛好和奧運會重合。由於祖國在奧運會上的豐收,自然引起了“為什麼中國數學家不能拿數學界的金牌”的問題。於是“拿金牌”這個口號不脛而走,暑期中心的同志們人人面上都掛著一個問號:“中國再什麼時候才拿數學界的第一面金牌?”這個問題後來甚至在雜誌、報章上也被提出來了。這個想法實在很具有刺激性。若是真能把一門嚴肅的學問當作一種體育比賽,以後可以玩的花樣就多得不可想像。比方說,人民日報第一頁可能有如下的標題:“Poincare與高斯在拓樸場上激戰,Poincare大勝,五比零。”又或:“群論決賽,Abel苦戰Galois,不幸以二比三敗北”等等。不過我猜想提倡在數學上“拿金牌”,主要的用意也不過是作為一種鼓勵罷了。這個用意自然是很好的,但是,這個口號卻不幸被人誤解,以為學數學的最終目的,不外是拿一個什麼獎之類。這就和古代“十載寒窗,一舉成名”的封建思想,有太多重合之處了。你們一定很清楚地認識到,在你們自己這一代當中,這種功利主義的想法已是與日俱增,犯不著再用“金牌”作為鼓勵了。我覺得比較值得做的事,倒是鼓勵你們去培養一種“實事求是,為這門有悠久歷史的學問盡一己之力”的學者風度。只是這件事一說開來就不是三言兩語所能夠說清楚的,而且恐怕也有一些說教的味道。所以我還是回過頭來跟你們討論數學罷。

“拿金牌”的另一個用意,就是舉出一個目標,希望大家朝這個方向走。從一個數學工作者的立場看來,這個作法似乎不夠徹底。如果真要堅持這個觀點,就不如索性舉出最偉大的數學家作為年輕人的榜樣。古語云:“取法乎上,得法乎中。”根據學問遠勝於我的人的看法,數學史上登峰造極的數位,還要數十九世紀的高斯、黎曼、Abel、Poincare等等。Hermann Weyl在1944年寫Hilbert的悼文時就說過,偉大如Hilbert,他的學術成就還不如高斯和黎曼。但也是Weyl,毫不含糊地加上一句話:“在我們(即Weyl本人)這一代中,並沒有一個能和Hilbert相比的數學家。”Weyl是被公認為本世紀數一數二的數學家,同時也許是數學史上的最後一個全才。可是從他這個評價,就可以了解為什麼要是想攀登數學的高峰,就非要拿這些十九世紀的大師們做榜樣不可。要認識他們的成就,就得要唸他們的全集。如果只談“拿金牌”而不談這個明顯的事實,則無形中變成鼓勵年輕人“取法乎中”,結果自然“得法乎下”。這就和提倡這個口號的原意脫節了。

你們一定以為“向大師學習”,只是一句說來動聽而不切實際的話。這是可以理解的。畢竟年輕人愛時髦,看的文章總是要愈新愈好。所以一、二十年前的文獻已是有過時之嫌,更遑論十九世紀的文章?可是這個提法是無需我來辯護的,因為有才學遠超過我的人來代替我這樣做。在我作研究生的時候,有一次去聽Andre Weil演講。他一開頭就說年輕人一定要找高斯、Euler等第一流數學家的全集來讀。在這方面,Weil是一個言行一致的人。1947年有一段時間他的情緒低落,但從翻閱高斯的文集中得到啟發,因而作了一連串的猜想。這就是支配了過去三十年來代數幾何發展的“Weil猜想”。其實相像的例子是太多了。與其多舉,不如推薦下列數篇文章,讓你們自己親身體驗罷:

(一)高斯創造近代曲面幾何學的文章:Disquisitiones generales circasuperficies curves。這篇文章最近剛有新的英文翻譯和注釋。請閱P.Dombrowski, 150 Years After Gauss’ Disquisitiones…, Asterisque,Vol. 62, Soc. Math. France, 1979。

(二)黎曼創造“黎曼幾何”的短文:Ueber die Hypothesen,welche derGeometrie zu Grunde liegen。這篇文章的英文翻譯和詳細的解釋可在本書參考文獻〔S8, II〕中找到。

(三)Poincare創造代數拓樸的一系列文章:Analysis situs, J Ecole Polytechnique (2) 1 (1895), 1-121﹔lr Complement, Rend. circ. mat. Palermo 13 (1899), 285-343﹔2d Complement, Proc. London Math. Soc. 32 (1900), 277-308﹔3e Complement, Bull. Soc. Math. France 30 (1902), 49-70﹔4e Complement, J. Math. Pure Appl. (5) 8 (1902), 169-214﹔5e Complement, Rend. circ. mat. Palermo 18 (1904), 45-110﹔

這些文章都是你們基本上能夠看懂的。同時我也可以保證,它們是會使你們感覺無限鼓舞的。

最後我們再回到“拿金牌”這個問題罷。一般人以為參加奧運會的唯一目的就是拿金牌。去年李寧拿了三面金牌,舉國稱慶,而童非一面也拿不到。所以用“拿金牌”的尺度來衡量,成功和失敗的分野,真是一目了然。但是“金牌得主”的李寧,他個人的想法又是怎麼樣呢?你們可以去圖書館翻看他在1984年底發表在報章上,以“童非是真正的英雄”為題的文章,就可以看到另一個觀點。其實參加體育競賽,或是鑽研數學,也只不過是人生的一部分而已。探求人生的意義,是我們至死的一天都學不完的大學問。下面錄出的兩段話,也許足以提供一些與眾不同的看法給大家作參考。第一段是近代奧運會始創人Pierre de Coubertin說的:

運動的目的不在勝利而在競爭
人生的意義不在克服而在奮鬥

另一段則是古代希臘奧運會的格言之一:

切勿要求勝利,只應要求有一往無前的勇氣。因為從堅忍不拔的奮鬥中,你將為自己帶來榮譽。但更重要的,你將為全人類帶來光榮。

伍鴻熙
1985年6月於北京大學

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