群论的哲学 Philosophical Group Theory

​在一个群体里, 每个会员互动中存在一种”运作” (binary operation, 记号 *)关系, 并遵守以下4个原则:

1) 肥水不流外人田: 任何互动的结果要回归 群体。(Closure) = C

2) 互动不分前后次序 (Associative) = A

(a*b)*c = a*(b*c)

3) 群体有个 共同 的 “中立身份 (Neutral / Identity) = N (记号: e)

4) 和而不同: 每个人的意见都容许存在反面的意见 “逆元” (Inverse) = I (记号: a 的逆元 = a^{-1})

Agree to disagree = Neutral

a*a^{-1} = e

具有这四个性质的群体才是

群体的 “美 : “对称” 

如果没有 (3)&(4): 半群

如果没有 (4) 反对者: 么半群
以上是 Group  (群 ) 数学的定义: “CAN I”

CA = Semi-Group 半群

CAN = Monoid 么半群

群是 Evariste Galois 19 岁数学天才 (伽罗瓦)在法国大革命时牢狱中发明的, 解决 300年来 Quintic Equations (5次或以上的 方程式) 没有 “根式” 解 [1] (radical roots)。19世纪的 Modern Math (Abstract Algebra) 从此诞生, 群用来解释自然科学(物理, 化学, 生物)里 “对称”现象。Nobel Physicists (1958) 杨振宁/李政道 用群来证明物理 弱力 (Weak Force) 粒子(Particles) 的不对称 (Assymetry )。

Note [1]:”根式” = \sqrt[n]{x}

比如: Quadratic equation (二次方程式) 有 “根式” 解:[最早发现者 : Babylon  和 三国时期的吴国 数学家 赵爽]

{a.x^{2} + b.x + c = 0}
\boxed{x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}}

3次方程式 (16世纪 意大利数学家 解根 时发现 i =\sqrt {-1} ) & 4次方程式也有 “根式” 解, 但5次或以上没有 — 这和 根 (roots) 的”对称”有关系。

1930民国初 一位苏家驹教授 写论文称他证明 5次方程有”根式”解。当时15岁的杂货店员 华罗庚 用19世纪Galois的证明 反驳。此事得到清华大学数学系主任 (留法博士) 熊庆来教授 和 杨武之教授 (杨振宁的父亲, 中国第一位”庚子赔款”奖学金 留美 数学博士)的注意, 破格收”只有中二学历”的华罗庚进入清华读数学。 毕业后, 熊再保送他去 英国剑桥大学深造三年, 跟从当代世界最伟大的数论大师  Prof G.Hardy (Ramanujian 的老师)。华罗庚青出于蓝, 比2位恩师更有成就, 尤其对 1960 ~ 1980的 中学数学教育的贡献, 考察苏联 大师 А. Н. Колмогоров 的数学教育改革, 编撰中国中学数学课本, 影响中国和星/马华校学子。

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