群表示论引言 Introduction to Group Representation

北京大学数学系 丘维声 教授

引言: 基本数学强化班 — 深入浅出介绍

  • 群表示论 是什么? 
  • 有何用 ?

第一课 Ring
丘教授 不愧是大师, 也和一些良师一样, 认同 “数”的(代数)结构先从 “环” (Ring) 开始教起, 再域, 后群 : 美国/法国/英国 都从 “群”(Group)开始, 然后 “环”, “域” (Field) , 是错误的教法, 好比先穿鞋后穿袜, 本末倒置!

精彩的”环” (Ring) 引出 6 条 axioms 公理: 

4条 ” + ” 法: 

Commutative 交换律, Associative 结合律, Neutral element ” 0″ 零元, Inverse (-) 逆元

2 条 “x ” 法: (exclude  “1” Unity, WHY ?)

Associative 结合律, Distributive (wrt “+”) 分配律

如果

环 + 交换 = 交换环 (Commutative Ring) 

环 + 单位元 ‘1’ = 单位元 环 (Unitary Ring, or Ring with Unity )

第二课: 域 Field

星期: Z 整数 子集的划分 Partitions

\mathbb {Z} _7 = { \bar {0} ,  \bar {1} ,  \bar {2} ,  \bar {3} ,  \bar {4} ,  \bar {5} ,  \bar {6} }

模m剩余类 : Mod m
\mathbb {Z} _ m = { \bar {0} ,  \bar {1} ,  \bar {2} ,  \bar {3} ,  ...\overline {m-1} }

既然Zm 是 Z的划分, 当然也有 “+ , x” 相似的运算, 定义为:

\boxed {\bar {a} + \bar {b} = \overline {a+b}}
\boxed { \bar {a}.\bar {b}= \overline {a.b}}

此运算定义 合理 (Well defined), 即 适合任何 a, b 值。

可以验证 Zm 也 符合 上面 “环” 的6个axioms, “x” 法 可交换, 单位元 是 {\bar {1}}

模m剩余类 = “有单位元” “交换”环  (‘Mod m’ = Commutative Ring with Unity)

单位 (可逆元) 和单位元 (e)是不同:

a.b = b.a = e
=> a 是 单位 (可逆元 inversible) , b 是逆元 (inverse)
=> \boxed { b = a^{-1} } (逆元唯一!)
Example: \mathbb {Z} _8 = { \bar {0} ,  \bar {1} ,  \bar {2} ,  \bar {3} ,  \bar {4} ,  \bar {5} ,  \bar {6}, \bar {7} }

\bar {2}.  \bar {4} =  \bar {0}
=> 零因子 (Zero Divisor) = \bar {2}, \bar {4}

\bar {3}.  \bar {3} =  \bar {1}
\bar {5}.  \bar {5} =  \bar {1}
\bar {7}.  \bar {7} =  \bar {1}

问题: 单位(可逆元 ) 可以是 零因子 吗?

\mathbb {Z} _7 = { \bar {0} ,  \bar {1} ,  \bar {2} ,  \bar {3} ,  \bar {4} ,  \bar {5} ,  \bar {6} }

每一个”非零”元 都是 可逆元 eg. \bar {2}.  \bar {4} =  \bar {1}

Field 域 = 单位元 交换环, 且 每一个”非零“元 都是 可逆元

\mathbb {F} =\mathbb {Z}_p, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}

第三课: 群, 子群

群虽然只有一个运算,但比环,域难! 所以”环-域-群”是自然的顺序教法, 根据”什么是数学?”的思维: 观察 -> 抽出主要特征 -> 抽象 -> 探索 (第四课 )

例子: (Z_{8}, \times) , (Z^{*}_{m}, \times)

第四课: 商群 Quotient Group

利用子群(H)来探索群(G)的结构 : 找  ” ~” 等价关系 

G的子群H 记: H < G 

a, b \in G

规定 a \sim b :\implies b^{-1}.a \in H
[Analogy:] (a \sim b ) \implies (a \equiv  b \mod p) \implies a + (- b) \equiv 0 \mod p

(左)陪集 (Left) Coset aH = \{ah | h \in H\}

第五课:  Lagrange 定理, 循环群

推论: 素数階 (prime order) = 循环群 Cyclic Group

另一个研究群的途径是通过 “同态“映射 (保持运算)。

“现代代数”鲜明的特色 — 好比 “照相”, 拍不同角度有不同印象, 但保持物景原貌!

第六课: 群作用 Group Action, 群表示论

Group Action 是”双面镜” – 了解 群 G 也了解 集合Ω 的性质。

选择:
1. 子群: 可逆 线性 变换群  < “全变换群 S(Ω)”
2. 集合 Ω = 线性空间

群表示论: 同态 Φ : G -> Ω

最近40年电脑时代, 离散数学 (Discrete Math) 重要 : 组合数学 (Combinatoric) — (以往是 Calculus 的连续数学)。

[继续 Part 2]: …

参考书: 丘维声 著

1. 抽象代数基础 (第二版)

2. 高等代数学习指导书 (下册) (第二版)

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos: 

http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

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