代数拓扑@中国南开大学 | Algebraic topology @ Nankai University, China 

代数拓扑@中国南开大学 | Algebraic topology @ Nankai University, China (in Chinese) 

代数拓扑2010年后非常火, 好比17世纪法国Fermat & Déscarte 共发明的几何分析 Analytic Geometry, 同样是( “新”) 代数 (Linear) Algebra 用于 (“新”)几何” (= 拓扑Topology aka “Rubber” Geometry), 且火上加 “油” (IT), 应用在 Big Data 大数据, 点燃人类 “4th Revolution” 的 火药 !

第一课: 拓扑空间

参考书: Alan Hatcher 《 Algebraic Topology》
(Downloadable eBook): 概括性广, 如小说般可读性, 但忽略某些数学东西 (最后一章)。

拓扑空间3个性质:

  1. 紧致性 Compactness
  2. 连通性 Connectivity
  3. 道路连通性 Path Connectivity

Note: (3) => (2) but converse false.

同胚 Homeomorphism

第二课: 函子 (Functor)

同胚的目的是把拓扑空间 分类, 很难! 代数拓扑是用代数方法找 “不变量” (invariants), 如群, 环, 域, 模 (Module)。

“梦想”: 找一个对应 “函子”(Functor), 已经找80年, 至今还未完全成功 (除了 特殊拓扑空间的同伦 Homotopy, 同调 Homology 等 小成绩 )。

第3课: 同伦 Homotopy

定义: 圆 = \boxed {{S^{1} = \{ (x,y) \in R^{2} \: | \: x^{2} + y^{2} = 1 \}}}

温习: R^{1} ,  R^{2} 不同胚
[Proof: 挖一个洞, 前者 ‘断’线 不连续, 后者 平面 绕过洞还是连续。] .
同理: S^{1} , S^{2} 不同胚

第四课: 同伦 是 等价关系 (Equivalence Relation)
证明: Reflexive, Associative, Transitive (用到粘结定理)

第五课: 商集合: 同伦等价类

例子: 
[S^{n},S^{n} ] \cong \mathbb {Z} 
[S^{3},S^{2} ] \cong \mathbb {Z} 
[S^{4},S^{3} ] \cong \mathbb {Z} / 2 ={0, 1}  
… ( 一般不知道 多少个?)…

球面任何2点是同伦: 

  • 唯一的最短道路连接此2点。
  • 如果是直径两端的点 (如南/北极), 则有多过一条最短道路 => 非同伦!

第六课

[直觉]: 用针刺, 球破缩小成一点(常数)。
[S^{2},S^{3} ] \cong [C_{x_{0}}]
 
…低维 m 映射 到高维 n 
=> 不满(射) non surjective 
\boxed {\forall m < n, [S^{m},S^{n} ] \cong [C_{x_{0}}]}

很多拓扑空间虽然非同胚,但是 同伦等价的。[下一课 …]
 

第7课: 收缩核, 形变 收缩核
定义:
映射同伦 Mapping Homotopy
空间同伦 Space Homotopy
空间偶同伦 Space (Couple) Homotopy

第八课

可缩空间: 圆盘缩小到原点
D^{2} \sim {0}

All 70 lectures: 代数拓扑@中国南开大学 http://www.youtube.com/playlist?list=PLMsmpuzEhclbLWQkLKec4aF3nWAON1oOk

Notes:

南开大学出了中国2位总理 周恩来, 温家宝。南开数学系是 世界第一流 数学家 — 美国人尊称 “Gauss #2”, Fields Medal 丘成桐 & Hedge Fund billionaire James H. Simons 的数学博士生导师  — 陈省身 (SS Chern, Wolf Prize) 从他亲手建立的美国顶尖Berkeley 数学研究院退休回中国后建立的。

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