丘维声教授
第1讲 数学的思维方式
3000 年前 希腊,巴比伦,中国,印度, 10世纪阿拉伯, 16世纪欧洲文艺复兴 数学 => [经典数学 Classical Math]
1830 年 数学的革命 – 法国天才少年 伽罗瓦 (Évariste Galois 1811 – 1832) => [近代数学 Modern Math]
观察 (Observe): 客观现象
抽象 (Abstraction) : 概念, 建立 模型 (Model)
探索 (Explore): 自觉 (Intuition), 解剖 , 类比(Analogy), 归纳 (Induction), 联想, 推理 (Deduction) 等…
猜测 (Conjecture) : eg. Riemann Conjecture (unsolved)
论证 (Prove): 只能用公理 (Axioms)(已知的共识), 定义 (概念), 已经证明的定理 (Theorems), 进行逻辑推理并计算.
揭示 (Reveal): 事物的内在规律 (井然有序)
第二讲: 例子 – 微积分 (Calculus) 的诞生, 演变, 严谨化
思维路程:
15 世纪 天体运动的观察: 哥白尼, 开普勒 三大定律 (天文数据结论, 非数学证明)
17 世纪 理论化: [英]牛顿,[德] Leibniz (非严密的数学)
19 世纪 严密数学: [法] Cauchy 柯西, [德] Wierstrass => “epsilon-delta” 极限 (Limit) => 柯西 数列 (Series).
实数 (R Real Numbers) 的 Complete (完备性 ) : [德国中学数学 老师] Dedekind (戴德金)’s Cut
有理数 (Q Rational Numbers): 稠密 但 不 Complete , 即 有漏洞, 穿插进 无理数 (irrational like )
定理: 如果 数列是 柯西数列 => 一定有极限, 且此 极限一定是 实数
例子: Series S = {1.4 , 1.41, 1.414 … }
S has no limit in , but limit =
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