Part 2:   群表示论的基本概念和Abel群的表示 Group Representation (Abel Group)

引言 : Part 1 温习]

群表示是 Group Action ”双面镜” – 了解 群 G 的总信息, 也同时了解 集合 Ω 的性质。

只选择:
1. 子群可逆 线性 变换群  [< “全变换群 S(Ω)”]
2. 集合 Ω = 线性空间

群表示论: 同态 Φ : G -> Ω

第一课: 映射 Mapping (f) 集合 A, B

北大 丘教授说他大学读数学时 (@ video 2:00 mins), 也是”知其然, 不知其所以然”, 即 不知”抽象数学”概念的motivations behind。 当了讲师后, 为了讲课, 重新温故知新, 明白多一些。后来再写书, 才完全透彻了解。这是肺腑之言! 我们以为教授很厉害, 什么都懂, 其实是经过长期的体会, 思考和苦学得来的。这样的名师 才能帮学生少走学习的冤枉路。

学习过程比课本学问更重要! 

这就是为何Nobel Prize winners的老师并没拿Nobel Prize。中国人1300年的状元们, 都是和本身科举失败的老师学习的。


f: A \to B
f: a \mapsto b , a \in A, b \in B
f(A) = \{ f(a) | a \in A \} \subseteq B (f 的值域 : “Im f”)

A : 定义域 domain
B : 陪域 co-domain: 唯一
满射 Surjective, 单射 Injective , 双射 Bijective

Note: 世界各国 (除了法国)的高中数学都只教Functions (函数), 没有 “映射” (Mapping, 法文: l’Application)。丘教授说中国高中数学也不例外。Function 中学教材是 WW1 德国数学教育家 Felix Klein 提倡的。Mapping 映射 是法国Bourbaki 学派 在WW2 改写 大学数学教材的基础 (Set Theory), 推行到法国高中 (Baccalaureate)数学。法国大师Grothendieck 更建议改写 数学的基础(foundation), 用更基础 的 “范畴论” (Category Theory) 代替 “集合论”(Set Theory), 但太先进不被 Bourbaki 同僚接受, 相信有一天他的梦想可以实现。

第二课: 线性空间  Linear Space, 线性变换 Linear Transformation, 同态 Homomorphism

Proposition (命题):  
f : A \to B
\boxed { f \text { reversible} \iff f \text { bijective} }

Projection 投影 P_{U} \implies  线性变换 –– 非常典型的同态例子!

V = U \oplus W , W non-unique

V = U \oplus U^{\perp}

第三课: 群各种同态 (单 / 满 /同构, 核 Ker)

同态 Homomorphism: \sigma : G \to G'
satisfies
\boxed {\sigma (a.b) = \sigma (a) . \sigma (b), \forall a, b \in G}

Homomorphism 同态 (自 ~: Endo-morphism)
Monomorphism 单同态
Epimorphism 满同态

Isomorphism 同构 (自~ : Auto-morphism)

丘教授 Tip: (有些)抽象数学(eg.同构性质) 可以用自觉(intuition)了解 (@ video 11:50 mins)。以上易证。

我的”直觉”例子Durian Kennel 榴莲 核

同态核 Kernel :
\boxed {Ker \: \sigma = | \{ a \in G | \sigma (a) = e' \}}

\boxed {Ker \: \sigma < G }

Proposition: (命题)
Let \: homomorphism \: \sigma : G \to G'
then
\boxed {\sigma \:  injective \iff Ker \: \sigma = \{e\}}

第四课: Normal Subgroup 正规子群 / Quotien Group 商群

H Normal Subgroup of G:
\boxed {H \triangleleft G} \iff \boxed {gH = Hg, \forall g \in G}  \iff
共轭子群 Conjugate Subgroup: \boxed{gHg^{-1} = H}

第五课: 群同态基本定律

商群: {\text {Quotient Group : } G / H} 
[证明]: 商集 G/H 的乘法 有 群 的4个性质 (Closure, Associative, Neutral , Inverse = C.A.N.I.) => G/H 是 商群 

(aH)(bH)
= a(Hb)H [associative]
= a(bH)H [normal subgroup ]
= ab(HH) [associative]
= abH [normal subgroup]
=> G/H closure

群同态基本定律

\boxed { Ker \: \sigma \triangleleft G} \iff  \boxed {G / Ker \: \sigma \cong Im \: \sigma} 同构

继续 Part 3:群的线表示和例子

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Ref:
1. 《抽象代数基础》 (第二版)

习题 1.4 {1 ~ 6}

2. 高等代数学习指导书 (下册) (第二版)

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