Part 3 (a) 群的线性表示和例

Part 1 引言 : 温习]
Part 2 群的基础概念 : 温习]

北大: 丘维声

Part 1 & 2 : 本科班 (Undergraduate) 数学 温习

Part 3 开始: 研究班 (Graduate) 数学

第一课 群表示 Group Representation

Φ: Group homomorphism 群同态
V: Linear Space 线性空间 (K 域上 Over Field K) => 表示空间

有限 V => deg (Φ) : 次数 / 维数

无限 V => 无限维

\boxed {\text {Group Representation : }(\phi, V)}

群表示: 通过研究 1) Φ 同态 2) 像 = 线性空间3) Φ 核 = Normal Subgroup => 了解 群

Ker Φ = {e} => Φ injective => Φ Faithful 忠实表示

Ker Φ = G => Φ 平凡表示 (全部G 都映射到 零, 平凡)

若 平方表示 Φ  是一次的 ( 即 V 是 1 维)  => 主表示 (或 单位表示)

\boxed {GL(V) \cong GL_{n} (K)} 可逆矩阵

\boxed { \Phi : G \to GL_{n} (K)} G 在K上的一个n 次矩阵表示

第二课

\phi (g) 在 V的基 (basis) \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} 下的矩阵 为 \Phi (g)
\psi (g) 在 W的基 (basis) \eta_{1}, \eta_{2}, ..., \eta_{n} 下的矩阵 为 \Psi (g)

\text {Isomorphism } \sigma : V \to W
\sigma (\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} ) = (\eta_{1}, \eta_{2}, ..., \eta_{n}).S
(因为同构, S也是 可逆矩阵)
\forall g \in G
\boxed { \psi (g) . \sigma = \sigma . \phi (g)  } … [1]
等价于
\boxed {\Psi(g).S = S. \Phi (g) } … [2]
[证明] 见 Ref (2): Pg 367 例27

第三课

从 [2] =>
\boxed {\Psi(g)= S. \Phi (g).S^{-1} } … [3]

(例子 1) 一次表示

群 G 在 K上的一次矩阵表示: 

\boxed { \forall g\in G, \Phi(g) \in K^{*}}
(即 G上的K* 值 函数)
and
\boxed { \Phi (g.h) = \Phi (g) \Phi (h), \forall g, h \in G}
特例:
\Phi (e) = 1
(1 是K*的单位元)

注意 (@ Video 7:00 mins): 函数(function) 是映射 (mapping)的特例:
          数值 到 数值的 映射

[例子1] 求(R,+)的一次实表示 ?
\text {For any fixed } a \in \mathbb {R},
f_{a} : (\mathbb {R}, +) \to \mathbb {R}^{*}
\text {s.t. } x \mapsto e^{ax}

f_{a} (x_{1}+x_{1}) = e^{a(x_{1}+x_{1})} = e^{a(x_{1})}.e^{a(x_{2})}
\boxed { f_{a} (x_{1}+x_{1}) = f_{a} (x_{1}). f_{a} (x_{2}) }

同理:
[例子2] 求(R,+)的一次复表示 ?
\text {For any fixed } a \in \mathbb {R},
f_{a} : (\mathbb {R}, +) \to \mathbb {C}^{*}
\text {s.t. } x \mapsto e^{iax}

问题: 如果 {a \in \mathbb {C} \text { ?}} 

第四课: 酉空间: 一次复表示

酉空间 (Unitary Space) is an archaic name for complex inner product space (复内积空间). It is not Hilbert Space (which requires extra Completeness 完备性)。

复线性空间 Complex Linear Space:
\boxed { \displaystyle  L^{2} [0, 2\pi] = \int_{0}^{2\pi}{|f (x)|^{2}dx} < \infty}

\forall f (x), g(x) \in L^{2} [0, 2\pi]
\boxed {\bigl(f (x), g (x) \bigr)= \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f (x).\overline {g (x)}dx}}

(R,+) 的 1次复表示: {...f_{-2},f_{-1},f_{0},f_{1}, f_{2}... }

就是 酉空间 L^{2} [0, 2\pi] 的一个 正交 规范 集

正交 = Orthogonal (inner product = 0)
规范 = (Norm = 1)

证明 :见 Ref 2 [Pg. 700 例1]

第五课:

可以证明: L^{2} [0, 2\pi] 中任何一个函数可以表示成 “Fourier展开”。

\displaystyle f (x) = \boxed{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_{n}(x) e^{inx}} [4] Fourier Series
where
\boxed { C_{n}(x) = \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f (x).e^{inx}dx} } [5] Fouier Coefficient

[4]右边 级数 收敛 (converge) 的意思:
\iff

\boxed { \displaystyle \lim_{M,N\to\infty}\int_{0}^{2\pi}{{\Bigr|f (x) - \sum_{n=- M}^{N} C_{n}(x) e^{inx} \Bigr|}^{2} dx} = 0 }

第六课: (R,+) 的 n 次实表示



见 [Ref 2]: 第七章  7.1 节

[习题 1 – 6]

\phi : (\mathbb {R}, +) \to GL (\mathbb {R}_{n} [x])
a \mapsto T_{a}
define :
T_{a} (f(x)) = f (x+a)
=> Rn [x] 自同态 endomorphism (以下证明)

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Ref
1. 《抽象代数基础》 (第二版)




  1. </b

    2. 高等代数学习指导书 (下册) (第二版)

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