Part 4 群的线性表示的结构

不变子空间: Invariant Sub-space

第一课:  Direct Sum 直和 \oplusof Representations

直和 =  {\oplus}

第二课: 群表示可约 Reducible Representation

Analogy :
Prime number decomposition
Irreducible Polynomial 

外直和 : { \dot{ +} }

\boxed { \displaystyle \phi_{1} \dot {+} \phi_{2} = \tilde {\phi_{1}} \oplus \tilde {\phi_{2}}}

* 第三课: 完全可约表示 Completely Reducible Representation

完全表示是可 完全分解为 不可约表示 的一种表示。

完全可约表示 => 其子表示 也 完全可约
不可约 一定是完全可约的!
[Analogy: Polynomial degree 1 (x + 1) is irreducible. ]

註: (*) 深奥课, 可以越过直接跳到结果。(证明 待以后 复习)。

集合证明: 交(和)  ⊇ 和(交)

如果  也是⊆ , 则 交(和) =  和(交)
Ref 2 《高代》 Pg 250 命题 1

\boxed {U \cap (U_{1} \oplus W) \supseteq (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W)}
U \cap (U_{1} \oplus W) \subseteq (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W)
\boxed {U \cap (U_{1} \oplus W) = (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W) = U_{1} \oplus (U \cap W) }

* 第四课: 群G 的有限维 完全可约表示 分解

探索: G 的任一个 K-表示 都是 “完全可约” ?

\boxed { V = U \oplus U' = Ker \mathbb {P}_{U' } \oplus Im \mathbb{P}_{U' }}

投影 Projection = \mathbb{P}_{U' }

* 第五课: 投影 《高代》Pg 337 命题3 [证明复杂, 从略]

* 第六课Maschke 定理2  [证明复杂, 从略]

条件:  characteristics can not divide order  |G|

Note: Zp of characteristics p means Z^{p} = 0

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:


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