北大 高等代数 Beijing University Advanced Algebra

2011 年 北京大学教授 丘维声教授 被邀给清华大学 物理系(大学一年级) 讲一学期课 : (Advanced Algebra) 高等代数, aka 抽象代数 (Abstract Algebra)。

丘维声(1945年2月-)生于福建省龙岩市[1],中国数学家、教育家。16岁时以全国高考状元的成绩考入北京大学,1978年3月至今担任北京大学数学科学学院教授,多年坚持讲授数学专业基础课程[2]。截至2013年,共著有包括《高等代数(上册、下册)》、《简明线性代数》两本国家级规划教材在内的40部著述[3]。于1993-97年的一系列文章中逐步解决了n=3pr情形的乘子猜想,并取得了一系列进展[2]。

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72岁的丘教授学问渊博, 善于启发, 尤其有别于欧美的”因抽象而抽象”教法, 他独特地提倡用”直觉” (Intuition) – 几何概念, 日常生活例子 (数学本来就是源于生活)- 来吸收高深数学的概念 (见: 数学思维法), 淳淳教导, 像古代无私倾囊传授的名师。

全部 151 讲。如果没时间, 建议看第1&第2课 Overview 。

http://www.bilibili.com/mobile/video/av7336544.html?from=groupmessage

第一课: 导言 : n 维 方程组 – 矩阵 (Matrix)- n 维 向量空间 (Vector Space) – 线性空间 (Linear Space)

第二课

上表 (左右对称): 

双线性函数 (Bi-linear functions) / 线性映射 (Linear Map)

线性空间 + 度量 norm =>

  • Euclidean Space (R) => (正交 orthogonal , 对称 symmetric) 变换
  • 酉空间 Unitary Space (C)…  => 变换, Hermite变换

近代代数 (Modern Math since 19CE  Galois) : 从 研究 结构 (环域群) 开始: Polynomial Ring, Algebraic structures (Ring, Field, Group).

第三课: 简化行阶梯形矩阵 Reduced Row Echelon Matrix

Part 4 群的线性表示的结构

不变子空间: Invariant Sub-space

第一课:  Direct Sum 直和 \oplusof Representations

直和 =  {\oplus}

第二课: 群表示可约 Reducible Representation

Analogy :
Prime number decomposition
Irreducible Polynomial 

外直和 : { \dot{ +} }

\boxed { \displaystyle \phi_{1} \dot {+} \phi_{2} = \tilde {\phi_{1}} \oplus \tilde {\phi_{2}}}

* 第三课: 完全可约表示 Completely Reducible Representation

完全表示是可 完全分解为 不可约表示 的一种表示。

完全可约表示 => 其子表示 也 完全可约
不可约 一定是完全可约的!
一次表示一定是不可约的! 
[Analogy: Polynomial degree 1 (x + 1) is irreducible. ]

註: (*) 深奥课, 可以越过直接跳到结果。(证明 待以后 复习)。

集合证明: 交(和)  ⊇ 和(交)

如果  也是⊆ , 则 交(和) =  和(交)
Ref 2 《高代》 Pg 250 命题 1

\boxed {U \cap (U_{1} \oplus W) \supseteq (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W)}
Also,
U \cap (U_{1} \oplus W) \subseteq (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W)
Then,
\boxed {U \cap (U_{1} \oplus W) = (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W) = U_{1} \oplus (U \cap W) }

* 第四课: 群G 的有限维 完全可约表示 分解

探索: G 的任一个 K-表示 都是 “完全可约” ?

\boxed { V = U \oplus U' = Ker \mathbb {P}_{U' } \oplus Im \mathbb{P}_{U' }}

投影 Projection = \mathbb{P}_{U' }

* 第五课: 投影 《高代》Pg 337 命题3 [证明复杂, 从略]

* 第六课Maschke 定理2  [证明复杂, 从略]

条件:  characteristics can not divide order  |G|

Note: Zp of characteristics p means Z^{p} = 0

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Part 3 (a) 群的线性表示和例

Part 1 引言 : 温习]
Part 2 群的基础概念 : 温习]

北大: 丘维声

Part 1 & 2 : 本科班 (Undergraduate) 数学 温习

Part 3 开始: 研究班 (Graduate) 数学

第一课 群表示 Group Representation

Φ: Group homomorphism 群同态
V: Linear Space 线性空间 (K 域上 Over Field K) => 表示空间

有限 V => deg (Φ) : 次数 / 维数

无限 V => 无限维

\boxed {\text {Group Representation : }(\phi, V)}

群表示: 通过研究 1) Φ 同态 2) 像 = 线性空间3) Φ 核 = Normal Subgroup => 了解 群

Ker Φ = {e} => Φ injective => Φ Faithful 忠实表示

Ker Φ = G => Φ 平凡表示 (全部G 都映射到 零, 平凡)

若 平方表示 Φ  是一次的 ( 即 V 是 1 维)  => 主表示 (或 单位表示)

\boxed {GL(V) \cong GL_{n} (K)} 可逆矩阵

\boxed { \Phi : G \to GL_{n} (K)} G 在K上的一个n 次矩阵表示

第二课

\phi (g) 在 V的基 (basis) \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} 下的矩阵 为 \Phi (g)
\psi (g) 在 W的基 (basis) \eta_{1}, \eta_{2}, ..., \eta_{n} 下的矩阵 为 \Psi (g)

\text {Isomorphism } \sigma : V \to W
\sigma (\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} ) = (\eta_{1}, \eta_{2}, ..., \eta_{n}).S
(因为同构, S也是 可逆矩阵)
\forall g \in G
\boxed { \psi (g) . \sigma = \sigma . \phi (g)  } … [1]
等价于
\boxed {\Psi(g).S = S. \Phi (g) } … [2]
[证明] 见 Ref (2): Pg 367 例27

第三课

从 [2] =>
\boxed {\Psi(g)= S. \Phi (g).S^{-1} } … [3]

(例子 1) 一次表示

群 G 在 K上的一次矩阵表示: 

\boxed { \forall g\in G, \Phi(g) \in K^{*}}
(即 G上的K* 值 函数)
and
\boxed { \Phi (g.h) = \Phi (g) \Phi (h), \forall g, h \in G}
特例:
\Phi (e) = 1
(1 是K*的单位元)

注意 (@ Video 7:00 mins): 函数(function) 是映射 (mapping)的特例:
          数值 到 数值的 映射

[例子1] 求(R,+)的一次实表示 ?
\text {For any fixed } a \in \mathbb {R},
f_{a} : (\mathbb {R}, +) \to \mathbb {R}^{*}
\text {s.t. } x \mapsto e^{ax}

f_{a} (x_{1}+x_{1}) = e^{a(x_{1}+x_{1})} = e^{a(x_{1})}.e^{a(x_{2})}
\boxed { f_{a} (x_{1}+x_{1}) = f_{a} (x_{1}). f_{a} (x_{2}) }

同理:
[例子2] 求(R,+)的一次复表示 ?
\text {For any fixed } a \in \mathbb {R},
f_{a} : (\mathbb {R}, +) \to \mathbb {C}^{*}
\text {s.t. } x \mapsto e^{iax}

问题: 如果 {a \in \mathbb {C} \text { ?}} 

第四课: 酉空间: 一次复表示

酉空间 (Unitary Space) is an archaic name for complex inner product space (复内积空间). It is not Hilbert Space (which requires extra Completeness 完备性)。

复线性空间 Complex Linear Space:
\boxed { \displaystyle  L^{2} [0, 2\pi] = \int_{0}^{2\pi}{|f (x)|^{2}dx} < \infty}

\forall f (x), g(x) \in L^{2} [0, 2\pi]
\boxed {\bigl(f (x), g (x) \bigr)= \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f (x).\overline {g (x)}dx}}

(R,+) 的 1次复表示: {...f_{-2},f_{-1},f_{0},f_{1}, f_{2}... }

就是 酉空间 L^{2} [0, 2\pi] 的一个 正交 规范 集

正交 = Orthogonal (inner product = 0)
规范 = (Norm = 1)

证明 :见 Ref 2 [Pg. 700 例1]

第五课:

可以证明: L^{2} [0, 2\pi] 中任何一个函数可以表示成 “Fourier展开”。

\displaystyle f (x) = \boxed{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_{n}(x) e^{inx}} [4] Fourier Series
where
\boxed { C_{n}(x) = \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f (x).e^{inx}dx} } [5] Fouier Coefficient

[4]右边 级数 收敛 (converge) 的意思:
\iff

\boxed { \displaystyle \lim_{M,N\to\infty}\int_{0}^{2\pi}{{\Bigr|f (x) - \sum_{n=- M}^{N} C_{n}(x) e^{inx} \Bigr|}^{2} dx} = 0 }

第六课: (R,+) 的 n 次实表示



见 [Ref 2]: 第七章  7.1 节

[习题 1 – 6]

\phi : (\mathbb {R}, +) \to GL (\mathbb {R}_{n} [x])
a \mapsto T_{a}
define :
T_{a} (f(x)) = f (x+a)
=> Rn [x] 自同态 endomorphism (以下证明)

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Ref
1. 《抽象代数基础》 (第二版)




  1. </b

    2. 高等代数学习指导书 (下册) (第二版)

Pure Mathematicians versus Applied Mathematicians

“A pure mathematician, when stuck on the problem under study, often decides to narrow the problem further and so avoid the obstruction. An applied mathematician interprets being stuck as an indication that it is time to learn more mathematics and find better tools” 

Distinguished differential geometer Eugenio Calabi

Ref: https://www.quantamagazine.org/20151203-big-datas-mathematical-mysteries/

2016 Nobel-Prize Winning Physics Explained Through Pastry 

2016 Nobel Prize Physics is Mathematics (Topology) applied in Superconductor and Superfluid to explain the Phase Transitions and Phases of Matter. 

Phases of Matter: Solid, Liquid, Gas

Phase Transitions: Solid ->  Liquid -> Gas

Superconductor below Tc (critical temperature) : zero resistance.

Superfluid below Tc : zero viscosity.

Reason explained by Mathematics : Topological invariant (拓扑不变量) increased step-wise.

Eg. Disk (0 hole), Circle (1 hole), Donut (2 holes), Coffee Cup (2 holes)… XYZ (n holes). [n increased by steps from 0, 1, 2, 3… ]

We say donut and coffee cup are homeomorphic (同胚) because they have the same topological invariant (2 holes).