Zhihu 知乎: 环Ring, 域Field, (半Semi-)群Group, 幺半群 MonoId

数学中代数的有两个名词:环,半群,请问环为什么叫做环,它和汉字里的环(字典中的意思)有什么相同之处;同样,半群为什么叫做半群,这个”半“字是怎么解释呢?

[葛利流,数学科技]

(I) 环和域
环 (Ring) 是德文, 这名词是David Hilbert发明的。
“环”最好的例子: 整数(Integer) 记作 Z (德文Zahl) 是个环。 他研究 Clock Arithmetic 时钟 是个 Modular Arithmetic (Mod 12)运算, 比如 15 = 3 mod 12

钟表上的整数 Z 数字 排成 一个钟的环状, 故称 此数是 “Zahl Ring” 整数 “环”。

Hilbert 的得意女弟子 Emile Noether 把 环论 发扬光大, 创造 “Noether Ring”。

如果 把 “12” 变成 任一素数 p , “环”就升级成”域” (Field) – 除了有环的( + – *) 运算, 还可以 (÷)。

Hilbert 发现 “环”有个重要性质是含有 “理想” (Ideal) – 理想 * 任何”外面”的东西 还回来”里面”。
例子: Z Ring 里有 “0”, 2Z, nZ…
0 * 任何Z数 => 回来 “0家族里面”
偶数 2 * 任何Z数 => 回来” 偶数 (2Z)家族里面”

大名鼎鼎的中国古代算术”韩信点兵”就是 含有 “环 和理想”的理论。

(II) 群 Group / 半群 Semi-Group / 幺半群MonoId
Group 群 有4个性质 C.A.N.I.
C: Close 封闭性
A: Associative 连续性
N: Neutral (or Identity = Id) 幺元
I: Inverse 逆元

Semi-Group 半群 只有2个性质: C.A.

Monoid 么半群 : C.A. + N (= Id) => Mono + Id

https://www.zhihu.com/question/20564445/answer/233486338

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A Fistful of Monads

Kotlin Monad (and Functor, Applicative)

1. Functor “map” (Kotlin) (fmap or <$> in Haskell)

https://hackernoon.com/kotlin-functors-applicatives-and-monads-in-pictures-part-3-3-832d58d92445

2. Monadsflatmap” (>>= in Haskell)

Haskell Monad:

http://learnyouahaskell.com/a-fistful-of-monads

Do not fear Monoid / Monoidal Category / Monad:

Monad in Haskell

F# Monad:

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(分享自知乎网)

https://zhuanlan.zhihu.com/p/29542641

Symmetry, Algebra and the “Monster”

Very good introduction of Modern Math concept “Group” to secondary school math students by an American high school teacher.

https://www.quantamagazine.org/symmetry-algebra-and-the-monster-20170817/

Summary:

  • Symmetry of a Square
  • Isometry (*) or Rigid Motion (刚体运动) = no change in shape and size after a transformation
  • What is a Group (群 “CAN I” ) ? = Closure Associative Neutral Inverse
  • Monster Group = God ?
  • String Theory: Higgs boson (玻色子) aka “God Particles”

Note (*): “保距映射” (Isometry),是指在度量空间 (metric space) 之中保持距离不变的”同构“关系 (Isomorphism) 。几何学中的对应概念是 “全等变换”