北大 高等代数 Beijing University Advanced Algebra

2011 年 北京大学教授 丘维声教授 被邀给清华大学 物理系(大学一年级) 讲一学期课 : (Advanced Algebra) 高等代数, aka 抽象代数 (Abstract Algebra)。

丘维声(1945年2月-)生于福建省龙岩市[1],中国数学家、教育家。16岁时以全国高考状元的成绩考入北京大学,1978年3月至今担任北京大学数学科学学院教授,多年坚持讲授数学专业基础课程[2]。截至2013年,共著有包括《高等代数(上册、下册)》、《简明线性代数》两本国家级规划教材在内的40部著述[3]。于1993-97年的一系列文章中逐步解决了n=3pr情形的乘子猜想,并取得了一系列进展[2]。

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72岁的丘教授学问渊博, 善于启发, 尤其有别于欧美的”因抽象而抽象”教法, 他独特地提倡用”直觉” (Intuition) – 几何概念, 日常生活例子 (数学本来就是源于生活)- 来吸收高深数学的概念 (见: 数学思维法), 淳淳教导, 像古代无私倾囊传授的名师。

全部 151 讲。如果没时间, 建议看第1&第2课 Overview 。

http://www.bilibili.com/mobile/video/av7336544.html?from=groupmessage

第一课: 导言 : n 维 方程组 – 矩阵 (Matrix)- n 维 向量空间 (Vector Space) – 线性空间 (Linear Space)

第二课

上表 (左右对称): 

双线性函数 (Bi-linear functions) / 线性映射 (Linear Map)

线性空间 + 度量 norm =>

  • Euclidean Space (R) => (正交 orthogonal , 对称 symmetric) 变换
  • 酉空间 Unitary Space (C)…  => 变换, Hermite变换

近代代数 (Modern Math since 19CE  Galois) : 从 研究 结构 (环域群) 开始: Polynomial Ring, Algebraic structures (Ring, Field, Group).

第三课: 简化行阶梯形矩阵 Reduced Row Echelon Matrix

Part 4 群的线性表示的结构

不变子空间: Invariant Sub-space

第一课:  Direct Sum 直和 \oplusof Representations

直和 =  {\oplus}

第二课: 群表示可约 Reducible Representation

Analogy :
Prime number decomposition
Irreducible Polynomial 

外直和 : { \dot{ +} }

\boxed { \displaystyle \phi_{1} \dot {+} \phi_{2} = \tilde {\phi_{1}} \oplus \tilde {\phi_{2}}}

* 第三课: 完全可约表示 Completely Reducible Representation

完全表示是可 完全分解为 不可约表示 的一种表示。

完全可约表示 => 其子表示 也 完全可约
不可约 一定是完全可约的!
一次表示一定是不可约的! 
[Analogy: Polynomial degree 1 (x + 1) is irreducible. ]

註: (*) 深奥课, 可以越过直接跳到结果。(证明 待以后 复习)。

集合证明: 交(和)  ⊇ 和(交)

如果  也是⊆ , 则 交(和) =  和(交)
Ref 2 《高代》 Pg 250 命题 1

\boxed {U \cap (U_{1} \oplus W) \supseteq (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W)}
Also,
U \cap (U_{1} \oplus W) \subseteq (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W)
Then,
\boxed {U \cap (U_{1} \oplus W) = (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W) = U_{1} \oplus (U \cap W) }

* 第四课: 群G 的有限维 完全可约表示 分解

探索: G 的任一个 K-表示 都是 “完全可约” ?

\boxed { V = U \oplus U' = Ker \mathbb {P}_{U' } \oplus Im \mathbb{P}_{U' }}

投影 Projection = \mathbb{P}_{U' }

* 第五课: 投影 《高代》Pg 337 命题3 [证明复杂, 从略]

* 第六课Maschke 定理2  [证明复杂, 从略]

条件:  characteristics can not divide order  |G|

Note: Zp of characteristics p means Z^{p} = 0

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Part 3 (a) 群的线性表示和例

Part 1 引言 : 温习]
Part 2 群的基础概念 : 温习]

北大: 丘维声

Part 1 & 2 : 本科班 (Undergraduate) 数学 温习

Part 3 开始: 研究班 (Graduate) 数学

第一课 群表示 Group Representation

Φ: Group homomorphism 群同态
V: Linear Space 线性空间 (K 域上 Over Field K) => 表示空间

有限 V => deg (Φ) : 次数 / 维数

无限 V => 无限维

\boxed {\text {Group Representation : }(\phi, V)}

群表示: 通过研究 1) Φ 同态 2) 像 = 线性空间3) Φ 核 = Normal Subgroup => 了解 群

Ker Φ = {e} => Φ injective => Φ Faithful 忠实表示

Ker Φ = G => Φ 平凡表示 (全部G 都映射到 零, 平凡)

若 平方表示 Φ  是一次的 ( 即 V 是 1 维)  => 主表示 (或 单位表示)

\boxed {GL(V) \cong GL_{n} (K)} 可逆矩阵

\boxed { \Phi : G \to GL_{n} (K)} G 在K上的一个n 次矩阵表示

第二课

\phi (g) 在 V的基 (basis) \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} 下的矩阵 为 \Phi (g)
\psi (g) 在 W的基 (basis) \eta_{1}, \eta_{2}, ..., \eta_{n} 下的矩阵 为 \Psi (g)

\text {Isomorphism } \sigma : V \to W
\sigma (\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} ) = (\eta_{1}, \eta_{2}, ..., \eta_{n}).S
(因为同构, S也是 可逆矩阵)
\forall g \in G
\boxed { \psi (g) . \sigma = \sigma . \phi (g)  } … [1]
等价于
\boxed {\Psi(g).S = S. \Phi (g) } … [2]
[证明] 见 Ref (2): Pg 367 例27

第三课

从 [2] =>
\boxed {\Psi(g)= S. \Phi (g).S^{-1} } … [3]

(例子 1) 一次表示

群 G 在 K上的一次矩阵表示: 

\boxed { \forall g\in G, \Phi(g) \in K^{*}}
(即 G上的K* 值 函数)
and
\boxed { \Phi (g.h) = \Phi (g) \Phi (h), \forall g, h \in G}
特例:
\Phi (e) = 1
(1 是K*的单位元)

注意 (@ Video 7:00 mins): 函数(function) 是映射 (mapping)的特例:
          数值 到 数值的 映射

[例子1] 求(R,+)的一次实表示 ?
\text {For any fixed } a \in \mathbb {R},
f_{a} : (\mathbb {R}, +) \to \mathbb {R}^{*}
\text {s.t. } x \mapsto e^{ax}

f_{a} (x_{1}+x_{1}) = e^{a(x_{1}+x_{1})} = e^{a(x_{1})}.e^{a(x_{2})}
\boxed { f_{a} (x_{1}+x_{1}) = f_{a} (x_{1}). f_{a} (x_{2}) }

同理:
[例子2] 求(R,+)的一次复表示 ?
\text {For any fixed } a \in \mathbb {R},
f_{a} : (\mathbb {R}, +) \to \mathbb {C}^{*}
\text {s.t. } x \mapsto e^{iax}

问题: 如果 {a \in \mathbb {C} \text { ?}} 

第四课: 酉空间: 一次复表示

酉空间 (Unitary Space) is an archaic name for complex inner product space (复内积空间). It is not Hilbert Space (which requires extra Completeness 完备性)。

复线性空间 Complex Linear Space:
\boxed { \displaystyle  L^{2} [0, 2\pi] = \int_{0}^{2\pi}{|f (x)|^{2}dx} < \infty}

\forall f (x), g(x) \in L^{2} [0, 2\pi]
\boxed {\bigl(f (x), g (x) \bigr)= \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f (x).\overline {g (x)}dx}}

(R,+) 的 1次复表示: {...f_{-2},f_{-1},f_{0},f_{1}, f_{2}... }

就是 酉空间 L^{2} [0, 2\pi] 的一个 正交 规范 集

正交 = Orthogonal (inner product = 0)
规范 = (Norm = 1)

证明 :见 Ref 2 [Pg. 700 例1]

第五课:

可以证明: L^{2} [0, 2\pi] 中任何一个函数可以表示成 “Fourier展开”。

\displaystyle f (x) = \boxed{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_{n}(x) e^{inx}} [4] Fourier Series
where
\boxed { C_{n}(x) = \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f (x).e^{inx}dx} } [5] Fouier Coefficient

[4]右边 级数 收敛 (converge) 的意思:
\iff

\boxed { \displaystyle \lim_{M,N\to\infty}\int_{0}^{2\pi}{{\Bigr|f (x) - \sum_{n=- M}^{N} C_{n}(x) e^{inx} \Bigr|}^{2} dx} = 0 }

第六课: (R,+) 的 n 次实表示



见 [Ref 2]: 第七章  7.1 节

[习题 1 – 6]

\phi : (\mathbb {R}, +) \to GL (\mathbb {R}_{n} [x])
a \mapsto T_{a}
define :
T_{a} (f(x)) = f (x+a)
=> Rn [x] 自同态 endomorphism (以下证明)

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Ref
1. 《抽象代数基础》 (第二版)




  1. </b

    2. 高等代数学习指导书 (下册) (第二版)

Part 2:   群表示论的基本概念和Abel群的表示 Group Representation (Abel Group)

引言 : Part 1 温习]

群表示是 Group Action ”双面镜” – 了解 群 G 的总信息, 也同时了解 集合 Ω 的性质。

只选择:
1. 子群可逆 线性 变换群  [< “全变换群 S(Ω)”]
2. 集合 Ω = 线性空间

群表示论: 同态 Φ : G -> Ω

第一课: 映射 Mapping (f) 集合 A, B

北大 丘教授说他大学读数学时 (@ video 2:00 mins), 也是”知其然, 不知其所以然”, 即 不知”抽象数学”概念的motivations behind。 当了讲师后, 为了讲课, 重新温故知新, 明白多一些。后来再写书, 才完全透彻了解。这是肺腑之言! 我们以为教授很厉害, 什么都懂, 其实是经过长期的体会, 思考和苦学得来的。这样的名师 才能帮学生少走学习的冤枉路。

学习过程比课本学问更重要! 

这就是为何Nobel Prize winners的老师并没拿Nobel Prize。中国人1300年的状元们, 都是和本身科举失败的老师学习的。


f: A \to B
f: a \mapsto b , a \in A, b \in B
f(A) = \{ f(a) | a \in A \} \subseteq B (f 的值域 : “Im f”)

A : 定义域 domain
B : 陪域 co-domain: 唯一
满射 Surjective, 单射 Injective , 双射 Bijective

Note: 世界各国 (除了法国)的高中数学都只教Functions (函数), 没有 “映射” (Mapping, 法文: l’Application)。丘教授说中国高中数学也不例外。Function 中学教材是 WW1 德国数学教育家 Felix Klein 提倡的。Mapping 映射 是法国Bourbaki 学派 在WW2 改写 大学数学教材的基础 (Set Theory), 推行到法国高中 (Baccalaureate)数学。法国大师Grothendieck 更建议改写 数学的基础(foundation), 用更基础 的 “范畴论” (Category Theory) 代替 “集合论”(Set Theory), 但太先进不被 Bourbaki 同僚接受, 相信有一天他的梦想可以实现。

第二课: 线性空间  Linear Space, 线性变换 Linear Transformation, 同态 Homomorphism

Proposition (命题):  
f : A \to B
\boxed { f \text { reversible} \iff f \text { bijective} }

Projection 投影 P_{U} \implies  线性变换 –– 非常典型的同态例子!

V = U \oplus W , W non-unique

V = U \oplus U^{\perp}

第三课: 群各种同态 (单 / 满 /同构, 核 Ker)

同态 Homomorphism: \sigma : G \to G'
satisfies
\boxed {\sigma (a.b) = \sigma (a) . \sigma (b), \forall a, b \in G}

Homomorphism 同态 (自 ~: Endo-morphism)
Monomorphism 单同态
Epimorphism 满同态

Isomorphism 同构 (自~ : Auto-morphism)

丘教授 Tip: (有些)抽象数学(eg.同构性质) 可以用自觉(intuition)了解 (@ video 11:50 mins)。以上易证。

我的”直觉”例子Durian Kennel 榴莲 核

同态核 Kernel :
\boxed {Ker \: \sigma = | \{ a \in G | \sigma (a) = e' \}}

\boxed {Ker \: \sigma < G }

Proposition: (命题)
Let \: homomorphism \: \sigma : G \to G'
then
\boxed {\sigma \:  injective \iff Ker \: \sigma = \{e\}}

第四课: Normal Subgroup 正规子群 / Quotien Group 商群

H Normal Subgroup of G:
\boxed {H \triangleleft G} \iff \boxed {gH = Hg, \forall g \in G}  \iff
共轭子群 Conjugate Subgroup: \boxed{gHg^{-1} = H}

第五课: 群同态基本定律

商群: {\text {Quotient Group : } G / H} 
[证明]: 商集 G/H 的乘法 有 群 的4个性质 (Closure, Associative, Neutral , Inverse = C.A.N.I.) => G/H 是 商群 

(aH)(bH)
= a(Hb)H [associative]
= a(bH)H [normal subgroup ]
= ab(HH) [associative]
= abH [normal subgroup]
=> G/H closure

群同态基本定律

\boxed { Ker \: \sigma \triangleleft G} \iff  \boxed {G / Ker \: \sigma \cong Im \: \sigma} 同构

继续 Part 3:群的线表示和例子

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Ref:
1. 《抽象代数基础》 (第二版)

习题 1.4 {1 ~ 6}

2. 高等代数学习指导书 (下册) (第二版)