代数拓扑@中国南开大学 | Algebraic topology @ Nankai University, China 

代数拓扑@中国南开大学 | Algebraic topology @ Nankai University, China (in Chinese) 

代数拓扑2010年后非常火, 好比17世纪法国Fermat & Déscarte 共发明的几何分析 Analytic Geometry, 同样是( “新”) 代数 (Linear) Algebra 用于 (“新”)几何” (= 拓扑Topology aka “Rubber” Geometry), 且火上加 “油” (IT), 应用在 Big Data 大数据, 点燃人类 “4th Revolution” 的 火药 !

第一课: 拓扑空间

参考书: Alan Hatcher 《 Algebraic Topology》
(Downloadable eBook): 概括性广, 如小说般可读性, 但忽略某些数学东西 (最后一章)。

拓扑空间3个性质:

  1. 紧致性 Compactness
  2. 连通性 Connectivity
  3. 道路连通性 Path Connectivity

Note: (3) => (2) but converse false.

同胚 Homeomorphism

第二课: 函子 (Functor)

同胚的目的是把拓扑空间 分类, 很难! 代数拓扑是用代数方法找 “不变量” (invariants), 如群, 环, 域, 模 (Module)。

“梦想”: 找一个对应 “函子”(Functor), 已经找80年, 至今还未完全成功 (除了 特殊拓扑空间的同伦 Homotopy, 同调 Homology 等 小成绩 )。

第3课: 同伦 Homotopy

定义: 圆 = \boxed {{S^{1} = \{ (x,y) \in R^{2} \: | \: x^{2} + y^{2} = 1 \}}}

温习: R^{1} ,  R^{2} 不同胚
[Proof: 挖一个洞, 前者 ‘断’线 不连续, 后者 平面 绕过洞还是连续。] .
同理: S^{1} , S^{2} 不同胚

第四课: 同伦 是 等价关系 (Equivalence Relation)
证明: Reflexive, Associative, Transitive (用到粘结定理)

第五课: 商集合: 同伦等价类

例子: 
[S^{n},S^{n} ] \cong \mathbb {Z} 
[S^{3},S^{2} ] \cong \mathbb {Z} 
[S^{4},S^{3} ] \cong \mathbb {Z} / 2 ={0, 1}  
… ( 一般不知道 多少个?)…

球面任何2点是同伦: 

  • 唯一的最短道路连接此2点。
  • 如果是直径两端的点 (如南/北极), 则有多过一条最短道路 => 非同伦!

第六课

[直觉]: 用针刺, 球破缩小成一点(常数)。
[S^{2},S^{3} ] \cong [C_{x_{0}}]
 
…低维 m 映射 到高维 n 
=> 不满(射) non surjective 
\boxed {\forall m < n, [S^{m},S^{n} ] \cong [C_{x_{0}}]}

很多拓扑空间虽然非同胚,但是 同伦等价的。[下一课 …]
 

第7课: 收缩核, 形变 收缩核
定义:
映射同伦 Mapping Homotopy
空间同伦 Space Homotopy
空间偶同伦 Space (Couple) Homotopy

第八课

可缩空间: 圆盘缩小到原点
D^{2} \sim {0}

All 70 lectures: 代数拓扑@中国南开大学 http://www.youtube.com/playlist?list=PLMsmpuzEhclbLWQkLKec4aF3nWAON1oOk

Notes:

南开大学出了中国2位总理 周恩来, 温家宝。南开数学系是 世界第一流 数学家 — 美国人尊称 “Gauss #2”, Fields Medal 丘成桐 & Hedge Fund billionaire James H. Simons 的数学博士生导师  — 陈省身 (SS Chern, Wolf Prize) 从他亲手建立的美国顶尖Berkeley 数学研究院退休回中国后建立的。

群表示论引言 Introduction to Group Representation

北京大学数学系 丘维声 教授

引言: 基本数学强化班 — 深入浅出介绍

  • 群表示论 是什么? 
  • 有何用 ?

第一课 Ring
丘教授 不愧是大师, 也和一些良师一样, 认同 “数”的(代数)结构先从 “环” (Ring) 开始教起, 再域, 后群 : 美国/法国/英国 都从 “群”(Group)开始, 然后 “环”, “域” (Field) , 是错误的教法, 好比先穿鞋后穿袜, 本末倒置!

精彩的”环” (Ring) 引出 6 条 axioms 公理: 

4条 ” + ” 法: 

Commutative 交换律, Associative 结合律, Neutral element ” 0″ 零元, Inverse (-) 逆元

2 条 “x ” 法: (exclude  “1” Unity, WHY ?)

Associative 结合律, Distributive (wrt “+”) 分配律

如果

环 + 交换 = 交换环 (Commutative Ring) 

环 + 单位元 ‘1’ = 单位元 环 (Unitary Ring, or Ring with Unity )

第二课: 域 Field

星期: Z 整数 子集的划分 Partitions

\mathbb {Z} _7 = { \bar {0} ,  \bar {1} ,  \bar {2} ,  \bar {3} ,  \bar {4} ,  \bar {5} ,  \bar {6} }

模m剩余类 : Mod m
\mathbb {Z} _ m = { \bar {0} ,  \bar {1} ,  \bar {2} ,  \bar {3} ,  ...\overline {m-1} }

既然Zm 是 Z的划分, 当然也有 “+ , x” 相似的运算, 定义为:

\boxed {\bar {a} + \bar {b} = \overline {a+b}}
\boxed { \bar {a}.\bar {b}= \overline {a.b}}

此运算定义 合理 (Well defined), 即 适合任何 a, b 值。

可以验证 Zm 也 符合 上面 “环” 的6个axioms, “x” 法 可交换, 单位元 是 {\bar {1}}

模m剩余类 = “有单位元” “交换”环  (‘Mod m’ = Commutative Ring with Unity)

单位 (可逆元) 和单位元 (e)是不同:

a.b = b.a = e
=> a 是 单位 (可逆元 inversible) , b 是逆元 (inverse)
=> \boxed { b = a^{-1} } (逆元唯一!)
Example: \mathbb {Z} _8 = { \bar {0} ,  \bar {1} ,  \bar {2} ,  \bar {3} ,  \bar {4} ,  \bar {5} ,  \bar {6}, \bar {7} }

\bar {2}.  \bar {4} =  \bar {0}
=> 零因子 (Zero Divisor) = \bar {2}, \bar {4}

\bar {3}.  \bar {3} =  \bar {1}
\bar {5}.  \bar {5} =  \bar {1}
\bar {7}.  \bar {7} =  \bar {1}

问题: 单位(可逆元 ) 可以是 零因子 吗?

\mathbb {Z} _7 = { \bar {0} ,  \bar {1} ,  \bar {2} ,  \bar {3} ,  \bar {4} ,  \bar {5} ,  \bar {6} }

每一个”非零”元 都是 可逆元 eg. \bar {2}.  \bar {4} =  \bar {1}

Field 域 = 单位元 交换环, 且 每一个”非零“元 都是 可逆元

\mathbb {F} =\mathbb {Z}_p, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}

第三课: 群, 子群

群虽然只有一个运算,但比环,域难! 所以”环-域-群”是自然的顺序教法, 根据”什么是数学?”的思维: 观察 -> 抽出主要特征 -> 抽象 -> 探索 (第四课 )

例子: (Z_{8}, \times) , (Z^{*}_{m}, \times)

第四课: 商群 Quotient Group

利用子群(H)来探索群(G)的结构 : 找  ” ~” 等价关系 

G的子群H 记: H < G 

a, b \in G

规定 a \sim b :\implies b^{-1}.a \in H
[Analogy:] (a \sim b ) \implies (a \equiv  b \mod p) \implies a + (- b) \equiv 0 \mod p

(左)陪集 (Left) Coset aH = \{ah | h \in H\}

第五课:  Lagrange 定理, 循环群

推论: 素数階 (prime order) = 循环群 Cyclic Group

另一个研究群的途径是通过 “同态“映射 (保持运算)。

“现代代数”鲜明的特色 — 好比 “照相”, 拍不同角度有不同印象, 但保持物景原貌!

第六课: 群作用 Group Action, 群表示论

Group Action 是”双面镜” – 了解 群 G 也了解 集合Ω 的性质。

选择:
1. 子群: 可逆 线性 变换群  < “全变换群 S(Ω)”
2. 集合 Ω = 线性空间

群表示论: 同态 Φ : G -> Ω

最近40年电脑时代, 离散数学 (Discrete Math) 重要 : 组合数学 (Combinatoric) — (以往是 Calculus 的连续数学)。

[继续 Part 2]: …

参考书: 丘维声 著

1. 抽象代数基础 (第二版)

2. 高等代数学习指导书 (下册) (第二版)

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos: 

http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

【区别:代数拓扑 (Algebraic Topology)  微分拓扑 (Differential Topology )  微分几何 ( Differential Geometry ) 代数几何 (Algebraic Geometry ) 交换代数  (Commutative Algebra ) 微分流形 (Differential Manifold )

​【区别:代数拓扑 (Algebraic Topology)  微分拓扑 (Differential Topology )  微分几何 ( Differential Geometry ) 代数几何 (Algebraic Grometry ) 交换代数  (Commutative Algebra ) 微分流形 (Differential Manifold ) ?】月如歌:并不能理解什么叫做楼主所说的配对。我简要谈下我对于上述所列名词的理解。… 

http://www.zhihu.com/question/23848852/answer/26771912 (分享自知乎网)

Sheaves do not belong to algebraic geometry:
https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/02/sheaves_do_not_belong_to_algeb.html

Lifting Sets to Vector Spaces via Categorification

​Set has no algebraic structure,  hence useless in computation. 

However you can use a technique called “Lifting function” to transform  the Set as a BASIS of a Vector Space – or  Module over semi-ring (eg. Natural numbers include 0)– which is an algebraic structure, thus able to apply linear map with matrices.

Example : Sets A = {Cat, Dog, Bird } , Set B {Mammal,  non Mammal}

Robinson’s Lecture 6: Categorification