北大 高等代数 (1) Beijing University Advanced Algebra

辛弃疾的《青玉案·元夕》:“…众里寻他千百度;蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。” –表达出了我的一种 (网上)意外相逢的喜悦,又表现出对心中(名师)的追求。

2011 年 北京大学教授 丘维声教授 被邀给清华大学 物理系(大学一年级) 讲一学期课 : (Advanced Algebra) 高等代数, aka 抽象代数 (Abstract Algebra)。

丘维声(1945年2月-)生于福建省龙岩市,中国数学家、教育家。16岁时以全国高考状元的成绩考入北京大学,1978年3月至今担任北京大学数学科学学院教授,多年坚持讲授数学专业基础课程。截至2013年,共著有包括《高等代数(上册、下册)》、《简明线性代数》两本国家级规划教材在内的40部著述。于1993-97年的一系列文章中逐步解决了n=3pr情形的乘子猜想,并取得了一系列进展。[Ref: Wekipedia ]

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72岁的丘教授学问渊博, 善于启发, 尤其有别于欧美的”因抽象而抽象”教法, 他独特地提倡用”直觉” (Intuition) – 几何概念, 日常生活例子 (数学本来就是源于生活)- 来吸收高深数学的概念 (见: 数学思维法), 谆谆教导, 像古代无私倾囊相授的名师。

全部 151 (小时) 讲课。如果没时间, 建议看第1&第2课 Overview 。

http://www.bilibili.com/mobile/video/av7336544.html?from=groupmessage

第一课: 导言 : n 维 方程组 – 矩阵 (Matrix)- n 维 向量空间 (Vector Space) – 线性空间 (Linear Space)

第二课

上表 (左右对称): 

左。双线性函数 (Bi-linear functions) – eg.內积 (Inner Product x.y = |x|.|y|.cos A)

右:  线性映射 (Linear Map) – 保存 线性 (linearity  ie + 法 , 数乘法 scalar multiplication)

线性 : 一切 平面上的, 或球体表面的点平面 (如: 地球的某点是平地)

线性空间 + 度量 norm =>

  • Euclidean Space (R) => (正交 orthogonal , 对称 symmetric) 变换
  • 酉空间 Unitary Space (C)…  => 变换, Hermite变换

近代代数 (Modern Math since 19CE  Galois) : 从 研究 结构 (环域群) 开始: Polynomial Ring, Algebraic structures (Ring, Field, Group).

第三课: 简化行阶梯形矩阵 Reduced Row Echelon Matrix

第四课: 例子 (无解)

第五课: 证明 无解/唯一解/无穷解, 行列式 (Determinant, Det)
[几何直觉]: 任何2线 1) 向交(唯一解) ; 2) 平行 (无解) ; 3) 重叠 (无穷解)。

n次方程組的解也只有3个情况:

无解
: O = d Det = 0
有解:

  • Rank r < n : 无穷解Det = 0
  • Rank r  = n : 唯一解 Det \neq 0

继续: n阶 行列式 

Part 4 群的线性表示的结构

不变子空间: Invariant Sub-space

第一课:  Direct Sum 直和 \oplusof Representations

直和 =  {\oplus}

第二课: 群表示可约 Reducible Representation

Analogy :
Prime number decomposition
Irreducible Polynomial 

外直和 : { \dot{ +} }

\boxed { \displaystyle \phi_{1} \dot {+} \phi_{2} = \tilde {\phi_{1}} \oplus \tilde {\phi_{2}}}

* 第三课: 完全可约表示 Completely Reducible Representation

完全表示是可 完全分解为 不可约表示 的一种表示。

完全可约表示 => 其子表示 也 完全可约
不可约 一定是完全可约的!
一次表示一定是不可约的! 
[Analogy: Polynomial degree 1 (x + 1) is irreducible. ]

註: (*) 深奥课, 可以越过直接跳到结果。(证明 待以后 复习)。

集合证明: 交(和)  ⊇ 和(交)

如果  也是⊆ , 则 交(和) =  和(交)
Ref 2 《高代》 Pg 250 命题 1

\boxed {U \cap (U_{1} \oplus W) \supseteq (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W)}
Also,
U \cap (U_{1} \oplus W) \subseteq (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W)
Then,
\boxed {U \cap (U_{1} \oplus W) = (U \cap U_{1} ) \oplus (U \cap W) = U_{1} \oplus (U \cap W) }

* 第四课: 群G 的有限维 完全可约表示 分解

探索: G 的任一个 K-表示 都是 “完全可约” ?

\boxed { V = U \oplus U' = Ker \mathbb {P}_{U' } \oplus Im \mathbb{P}_{U' }}

投影 Projection = \mathbb{P}_{U' }

* 第五课: 投影 《高代》Pg 337 命题3 [证明复杂, 从略]

* 第六课Maschke 定理2  [证明复杂, 从略]

条件:  characteristics can not divide order  |G|

Note: Zp of characteristics p means Z^{p} = 0

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Part 3 (a) 群的线性表示和例

Part 1 引言 : 温习]
Part 2 群的基础概念 : 温习]

北大: 丘维声

Part 1 & 2 : 本科班 (Undergraduate) 数学 温习

Part 3 开始: 研究班 (Graduate) 数学

第一课 群表示 Group Representation

Φ: Group homomorphism 群同态
V: Linear Space 线性空间 (K 域上 Over Field K) => 表示空间

有限 V => deg (Φ) : 次数 / 维数

无限 V => 无限维

\boxed {\text {Group Representation : }(\phi, V)}

群表示: 通过研究 1) Φ 同态 2) 像 = 线性空间3) Φ 核 = Normal Subgroup => 了解 群

Ker Φ = {e} => Φ injective => Φ Faithful 忠实表示

Ker Φ = G => Φ 平凡表示 (全部G 都映射到 零, 平凡)

若 平方表示 Φ  是一次的 ( 即 V 是 1 维)  => 主表示 (或 单位表示)

\boxed {GL(V) \cong GL_{n} (K)} 可逆矩阵

\boxed { \Phi : G \to GL_{n} (K)} G 在K上的一个n 次矩阵表示

第二课

\phi (g) 在 V的基 (basis) \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} 下的矩阵 为 \Phi (g)
\psi (g) 在 W的基 (basis) \eta_{1}, \eta_{2}, ..., \eta_{n} 下的矩阵 为 \Psi (g)

\text {Isomorphism } \sigma : V \to W
\sigma (\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} ) = (\eta_{1}, \eta_{2}, ..., \eta_{n}).S
(因为同构, S也是 可逆矩阵)
\forall g \in G
\boxed { \psi (g) . \sigma = \sigma . \phi (g)  } … [1]
等价于
\boxed {\Psi(g).S = S. \Phi (g) } … [2]
[证明] 见 Ref (2): Pg 367 例27

第三课

从 [2] =>
\boxed {\Psi(g)= S. \Phi (g).S^{-1} } … [3]

(例子 1) 一次表示

群 G 在 K上的一次矩阵表示: 

\boxed { \forall g\in G, \Phi(g) \in K^{*}}
(即 G上的K* 值 函数)
and
\boxed { \Phi (g.h) = \Phi (g) \Phi (h), \forall g, h \in G}
特例:
\Phi (e) = 1
(1 是K*的单位元)

注意 (@ Video 7:00 mins): 函数(function) 是映射 (mapping)的特例:
          数值 到 数值的 映射

[例子1] 求(R,+)的一次实表示 ?
\text {For any fixed } a \in \mathbb {R},
f_{a} : (\mathbb {R}, +) \to \mathbb {R}^{*}
\text {s.t. } x \mapsto e^{ax}

f_{a} (x_{1}+x_{1}) = e^{a(x_{1}+x_{1})} = e^{a(x_{1})}.e^{a(x_{2})}
\boxed { f_{a} (x_{1}+x_{1}) = f_{a} (x_{1}). f_{a} (x_{2}) }

同理:
[例子2] 求(R,+)的一次复表示 ?
\text {For any fixed } a \in \mathbb {R},
f_{a} : (\mathbb {R}, +) \to \mathbb {C}^{*}
\text {s.t. } x \mapsto e^{iax}

问题: 如果 {a \in \mathbb {C} \text { ?}} 

第四课: 酉空间: 一次复表示

酉空间 (Unitary Space) is an archaic name for complex inner product space (复内积空间). It is not Hilbert Space (which requires extra Completeness 完备性)。

复线性空间 Complex Linear Space:
\boxed { \displaystyle  L^{2} [0, 2\pi] = \int_{0}^{2\pi}{|f (x)|^{2}dx} < \infty}

\forall f (x), g(x) \in L^{2} [0, 2\pi]
\boxed {\bigl(f (x), g (x) \bigr)= \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f (x).\overline {g (x)}dx}}

(R,+) 的 1次复表示: {...f_{-2},f_{-1},f_{0},f_{1}, f_{2}... }

就是 酉空间 L^{2} [0, 2\pi] 的一个 正交 规范 集

正交 = Orthogonal (inner product = 0)
规范 = (Norm = 1)

证明 :见 Ref 2 [Pg. 700 例1]

第五课:

可以证明: L^{2} [0, 2\pi] 中任何一个函数可以表示成 “Fourier展开”。

\displaystyle f (x) = \boxed{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_{n}(x) e^{inx}} [4] Fourier Series
where
\boxed { C_{n}(x) = \frac {1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}{f (x).e^{inx}dx} } [5] Fouier Coefficient

[4]右边 级数 收敛 (converge) 的意思:
\iff

\boxed { \displaystyle \lim_{M,N\to\infty}\int_{0}^{2\pi}{{\Bigr|f (x) - \sum_{n=- M}^{N} C_{n}(x) e^{inx} \Bigr|}^{2} dx} = 0 }

第六课: (R,+) 的 n 次实表示



见 [Ref 2]: 第七章  7.1 节

[习题 1 – 6]

\phi : (\mathbb {R}, +) \to GL (\mathbb {R}_{n} [x])
a \mapsto T_{a}
define :
T_{a} (f(x)) = f (x+a)
=> Rn [x] 自同态 endomorphism (以下证明)

北大 丘维声的 “群论” List of All Videos:http://www.youtube.com/playlist?list=PLwzFfIxhEkcxvU7-c8rPBbPLHUeacPIpa

Ref
1. 《抽象代数基础》 (第二版)




  1. </b

    2. 高等代数学习指导书 (下册) (第二版)