北京大学:数学是什么 ?

丘维声教授 

第1讲 数学的思维方式 

3000 年前 希腊,巴比伦,中国,印度, 10世纪阿拉伯, 16世纪欧洲文艺复兴 数学 => [经典数学 Classical Math]

1830 年 数学的革命 – 法国天才少年 伽罗瓦 (Évariste Galois 1811 – 1832) => [近代数学 Modern Math]

观察 (Observe): 客观现象
\downarrow
抽象 (Abstraction) : 概念, 建立 模型 (Model)
\downarrow
探索 (Explore): 自觉 (Intuition), 解剖 , 类比(Analogy), 归纳 (Induction), 联想, 推理 (Deduction) 等…
\downarrow
猜测 (Conjecture) : eg. Riemann Conjecture (unsolved)
\downarrow
论证 (Prove): 只能用公理 (Axioms)(已知的共识), 定义 (概念), 已经证明的定理 (Theorems), 进行逻辑推理并计算.
\downarrow
揭示 (Reveal): 事物的内在规律 (井然有序)

第二讲: 例子 – 微积分 (Calculus) 的诞生, 演变, 严谨化

思维路程:

15 世纪 天体运动的观察: 哥白尼, 开普勒 三大定律 (天文数据结论, 非数学证明)

17 世纪 理论化: [英]牛顿,[德] Leibniz (非严密的数学)

19 世纪 严密数学: [法] Cauchy 柯西, [德] Wierstrass => “epsilon-delta” 极限 (Limit) => 柯西 数列 (Series).

实数 (R Real Numbers) 的 Complete (完备性 ) : [德国中学数学 老师] Dedekind (戴德金)’s Cut

有理数 (Q Rational Numbers): 稠密 但 不 Complete , 即 有漏洞, 穿插进 无理数 (irrational like \pi, \sqrt{2}  ) 

定理:  如果 数列是 柯西数列 => 一定有极限, 且此 极限一定是 实数

例子: Series S = {1.4 , 1.41, 1.414 … }

S has no limit in \mathbb {Q}, but limit = \sqrt{2} \in  \mathbb{R}